立足课标，探寻低段“图形的认识和测量”的结构化教学

四川博睿特外国语学校  杨茂舒

       自2022年4月21日《新课标》（2022版）颁布以来，学习新课标、研究新课标成了当下热潮。此次修订的一项重大变革，明确指出“设计体现出结构化特征的课程内容”、“课程内容的组织，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”。课程内容结构化，旨在以整体关联为抓手，以动态建构为核心，以发展思维为导向，以基础学力与数学素养为目标追求的学习过程、学习方式和方法，形成儿童有效认知结构的自我建构，强化知识间的内在关联，凸显学科的本质、思想方法以及内在逻辑。对于今天的主题——“图形与几何”第一个板块“图形的认识与测量”，也是如此。那么，到底如何在这个板块进行结构化教学？特别值得我们思考。

       2011年版课标把“图形与几何”板块分为图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置4个板块，2022年版新课标对“图形与几何”板块进行整合，分成两大板块：图形的认识与测量、图形的位置与运动。“测量”是小学阶段认识图形的最基本的方法，其本质是通过度量图形的长度、面积、体积、角度来研究图形及其关系，与图形的认识紧密联系，将图形的认识与测量统整在一起有利于学生整体把握图形的几何特征。图形的运动和位置均是借助坐标系展开的，两者紧密关联，将二者整合为“图形的位置与运动”，使得图形与几何的内容统整起来，避免知识内容的碎片化。现在以人教版二年级上《角的初步认识》为例，从以下三点聊聊我们的思考。

       一、研读教材体系的结构化，厘清前衔后延

       苏格拉底有经典的灵魂三问——“我是谁？”、“我从哪里来？”、“我将要到哪里去？”，其实稍作修改——“是什么？”“怎么得到？”“有什么用？”是不是就有点知识内容结构化的意思？以《角的初步认识》这节课为例，首先，“是什么？”——学生从这节课开始到高中，会经历4次角的学习和定义：二年级学生阶段教材并没有特别的对角进行定义，教材呈现的是在大量活动感知角，让学生明白 ——“像这样的，有一个尖尖的顶点和两条直直的边组成的图形就是角”。到了四年级，对角就有一个描述性的定义——“由一个顶点引出的两条射线组成的图形就是角。”初中对角也是静态定义——“具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，高中则对角进行动态定义——“一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角”。其次，这节课，标志着学生的认知的跨越，是学生对空间图形的第一次抽象，要在一个面上抽象出一个顶点和两条直直的边组成的角。这节课除了抽象角的特征，给它一个描述性的定义，还要研究角的大小变化。其次，“怎么得到？”——学生的认知基础在哪里？学生在一年级上初步认识了长方体、正方体、圆柱和球，一年级下册初步认识了长方形、正方形、三角形。最后，“有什么用？”——为本单元学习角的分类，为后面系统的学习平面图形和立体图形做铺垫，同时也为初中学习相似和全等以及立体几何做知识铺垫，其实这节课就是一节种子课。所以这节课需要精耕细作，不要怕花时间花精力。

       纵观整个教材的编排，从教学内容分布表可以看出，关于图形知识的编排都遵循了“体——面——线”的逻辑顺序，体现了“线”在“面”上、“面”在“体”中的数学原理，也符合儿童的认识规律——生活中看到的都是一个个“体”，并没有独立存在的面和线。教材安排一年级上册初步认识和辨认长方体、正方体、圆柱、球等立体图形。然后在一年级下册从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面，抽象出长方形、正方形、圆等平面图形。体现“实物→图像→表象→抽象”的认知路径。有了这样的直观和抽象的经验后，二年级上册，开始感知图形的一部分，需要学生从平面图形中抽象出“角”这个图形元素。像这样从具体到抽象，从实物到图形，从整体到局部的安排，揭示了立体图形与平面图形的关系。在认识角、认识线以后，开始深入研究二维空间的长方形、正方形、三角形、梯形、圆等平面图形的特征、周长、面积。在此之后，再把研究的目光转向三维的长方体、正方体、圆柱、圆锥的特征、表面积、体积等。

       二、构建课堂呈现的结构化，发展空间观念

       （一）找准起点，课堂拾级而上

       如果在课前有对学生进行调研的话，我想，本课的第一个追问——“学生真的认识角吗？”“学生的认知起点在哪里？”

       我们不难发现，学生对“角”有感知，他们对角的认识停留在生活中的“墙角、桌角、书角”等生活经验的描述，即便学生觉得图形中有角，依然不会把角的尖尖的顶点和两条直直的边剥离出来，学生对角的认识停留在生活经验，需要反复抽象后才能逐步建立，而二年级学生正处于直观思维阶段，抽象出物体或者图形的某一部分对他们来说，有很大的难度。而教师已经建立角的概念，眼中有角、心中有建构。所以，站在讲台上的我们，要知道，教师的“明白”不等于学生的“明白”。课堂要尊重学生的“明白”，从学生的“明白”开始。新课标指出：“教材素材的选取应尽可能地贴近学生的现实，以利于学生经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程，发展抽象能力、推理能力等。”本课的开课，引导学生从博睿特的建筑实物到体到面再到角元素的感受开始，发现了学生认知的现实起点，看到了知识的“源头活水”，让课堂在顺应的状态下拾级而上。

       （二）操作感知，抽象概念本质

       新课标特别强调，数学课堂的设计，要力求体现学习的“活动化、游戏化、生活化”，引导学生主动探究与体验，让学习深度发生，让核心素养得以落实。

       这节课的设计首先通过实物（窗户顶部的形状、钟面、教师手里的三角尺等）让学生找出其中的角，然后将实物的“花外衣”隐去，基于现实生活，把看见的具体的实物的角“脱胎换骨”，抽象出图形，采用对具象描述的方式进行象形性地定义（象这样的图形叫角）。

       接下来，在大量的操作活动中对角的本质概念逐步抽离、逐步抽象。课堂上，老师非常注重让学生对角的感知，设置由摸一摸的环节，让学生的听觉、视觉、触觉等多种感官协同作用，形成对角的特征的初步的充分的感知。因为在儿童的经验里，角是一种触觉感受——尖尖的、刺人的，指向的是角的物理特性。其实，我们都明白，正如点没有大小、线没有粗细、面没有厚薄一样，作为数学概念的“角”是无法触摸和感知的。但是这节课我们面对的是二年级的孩子，我们的重点就是要基于儿童的经验，顺学而导，帮助他们建立角的正确表象，其次，陈老师在课堂中设计“做角”的活动，利用大量的生活素材，学生在活动中作出各种各样的角，用不同的素材做出有共同特征的不同的角，旨在让学生在做角的活动中逐步抽离角的本质特征，不断的修正自己的认知，让“尖尖的顶点和两条直直的边”内化于心。这不就是在用“数学的语言表达世界”吗？

       （三）深化探究，延展知识结构

如果说前面的活动都是在解决“什么是角”这个问题，那么本课的第二个追问就一定是“学生真的会比较角的大小吗？”，如果说角的表象性特征比较抽象，那么“角的大小”更抽象，不知道老师们发现没有，这里面还存在着一些相对统一的矛盾：一是“线的无限、不可量化”和“角的度数的有限、可量化”，这对小学生而言是非常玄虚、难以调和、难以理解的。如果说图形领域的“长度”、“面积”、“体积”在现实生活中有大量的、具体的、可触摸、可感受的实体和具象，具体、直观。角的大小相对它们而言，就显得尤为抽象。角的大小还有一个更为虚玄的特质——“角的两边无限延长，而角的大小却不变！”这对以具体形象思维为主、抽象辩证思维不足的二年级学生而言，是非常难的，很难理解和掌握。二是学生生活的“比较”和角的大小的比较，小学生从小比较物体的习惯是：以他所见的物体或图形的整体来进行比较。他们在比较红色角和蓝色角的时候，自然把“张口的程度、边的长短、以及两边之间所夹的区域”综合成一个整体来比较。这样，实际上就误把“角”想象成相应的“三角形”去比较了。但是这个内容又超级重要，要为四年级上册角的度量做铺垫，从张口大小的比较（定性比较）过渡到角的度数（定量比较）的比较，这个内容也直接影响了学生“1度角定义”的感知。这也非常契合几何本质，研究几何，不管是量线的长度还是角的大小，度量是前提。所以，我们此时从感受角的张口开始，为4年级角的度数的大小做准备。

       怎么办呢？课标明确指出：“图形的认识与测量的教学，结合低年级学生的年龄特点，充分利用学生在幼儿园阶段积累的有关图形的经验，以直观感知为主。图形的认识教学要选用学生身边熟悉的素材，鼓励学生动手操作，感知特征，引导学生经历抽象过程，形成初步的空间观念。”“如何比较角的大小？”——作为师者，我们心里早已有答案和标准——首先，直观感知张口的大小；其次是定性描述，把两个角的顶点重合，再把两个角的一条变重合，判断另一条边是否重合，或者在线内还是线外，从而比较角的大小。可是落实到二年级的课堂上，它真的太难了。所以，我们在课堂上，利用童趣化的红角宝宝和蓝角宝宝吃水果情境，很形象的让学生感受嘴巴张开的大小，然后给予比较角的大小的标准，然后再进行动态化的呈现与实物操作以及手势，目的就是让学生变经验感受为定性感受，让生充分的感受张口的大小与角的大小有关。这不就是在用“数学的思维思考世界”吗？

       最后，设计了找角的环节，感知生活中数学无处不在，与很多课例不同的是，我们不是单纯的去找角，找尖尖的顶点和两条直直的边，而是用准备好的学具角去比划去找角，让学生发现用直角的学具角去比划，可以发现书包柜有一个角和它一样大，还发现数学书的一角也和它一样大，最后发现书包柜的那个角和数学书的那个角一样大，体现了几何的“运动不变”的特征。不管哪种呈现方式，这不就正体现着“用数学的眼光观察世界”吗？

       纵观整节课的设计，非常好的呈现了“初识角-做角-画角-比角-找角”的逻辑顺序。但是我总感觉有些犹抱琵琶半遮面的感觉，我们都可以再深入想一想，如何更好的让学生认知中的生活中物体上的角过渡到数学中平面上的角？让课堂更生动，让课堂更具“研创”的魅力。

       三、培养数学素养的结构化，落实育人目标

       新课标指出：“在教学过程中，不仅要注重具体内容与核心素养之间的关联，还要注重内容主线与核心素养发展之间的关联。例如，在图形与几何领域的‘图形的认识’主线，第一学段，要求在对立体图形和平面图形的认识过程中，通过直观辨认和感知形成初步的空间观念。”

       新课标所倡导的结构化学习，致力于寻找知识之间的连接点，帮助学生建构整体的结构思维，建构学生的思维体系和学科素养，达成从知识到思想再到素养的优化。就如，本课通过角的认识，不仅是为了连接平面图形和立体图形，建立概念知识之间的结构化，还是一种“通过整体透析局部，通过局部认识整体”的学习策略，在探究过程中，建立联系的观念，形成结构化思维。

       实践课程内容结构化的一种很好的载体就是周末实践长作业，可以真正让学生“活”起来，“做”出来，引导学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。所以，我个人想这个单元学习后，可以设计一个实践长作业，比如：

       设计“制作活动角”的探究作业，让学生借助家中有的材料进行设计，并去感受锐角、直角、钝角的变化。这也为四年级从角的动态定义去认识角增加一些感性认识。

       设计“利用三角板”拼角的实践作业，利用这两个三角尺，能够拼出锐角、直角和钝角吗？如何做到不重复、不遗漏呢？这样的作业可以帮助学生感受几何的“有限可加”的特征。